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    "# Cours ENPC - Pratique du calcul scientifique"
   ]
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    "## Calcul en virgule flottante"
   ]
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   "source": [
    "### Exemples de motivation\n",
    "Afficher les calculs de la présentation du cours `0.1 + 0.2 == 0.3` etc...  \n",
    "Pour afficher un résultat, plusieurs commandes sont possibles : `print`, `println`, `display` et `@show`.  \n",
    "On rappelle que l'aide sur une commande est accessible depuis le REPL en tapant d'abord `?` puis la commande. Si la commande appartient à une bibliothèque non standard, il faut au préalable charger la bibliothèque par `using` ou `import`."
   ]
  },
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    "### Exercice\n",
    "1. Construire une fonction renvoyant le signe, l'exposant et la mantisse en s'arrêtant à `n` bits après la virgule\n",
    "1. Appliquer à `x = 1/BigFloat(10)` en tronquant la mantisse à 52 bits après la virgule\n",
    "1. Expliquer ce que renvoie `bitstring(0.1)[13:end]` et la raison du `13`\n",
    "1. Comparer"
   ]
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    "### Exercice\n",
    "1. Implémenter l’algorithme décimal → binaire pour des entiers $n∈\\mathbb{N}$\n",
    "1. Appliquer à quelques entiers et vérifier le résultat avec `bitstring`"
   ]
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    "### Exemples d'opérations sur les flottants"
   ]
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    "### Exercice\n",
    "Expliquer par analyse des exposants et mantisses pourquoi $0.1 \\widehat + 0.2≠0.3$ dans `Float16`"
   ]
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    "### Exemples sur les entiers\n",
    "Afficher `bitstring(1)`, `bitstring(-1)`, `2^63`, `-2^63-1` et `2^64`"
   ]
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    "### Exercice sur l'algorithme de sommation de Kahan\n",
    "1. Implémenter une fonction \"naïve\" `MySum` faisant la somme des composantes d'un vecteur `X`\n",
    "1. Implémenter l'algorithme `KahanSum`\n",
    "1. Choisir un type `T`, un entier `n` et construire le vecteur  \n",
    "`X=[one(T),eps(T)/2,...,eps(T)/2]` où `eps(T)/2` est répété $n-1$ fois\n",
    "1. Comparer les sommes obtenues en utilisant les fonctions `MySum`, `sum` et `KahanSum` sur `X` ainsi que sur `view(X,n:-1:1)`\n",
    "1. Construire un vecteur aléatoire `Y=rand(T,n)` ainsi qu'une version ordonnée `Ỹ=sort(Y)`\n",
    "1. Comparer les sommes obtenues sur `Y` et `Ỹ` avec les différents algorithmes. On pourra notamment se servir de la bibliothèque [`Xsum.jl`](https://github.com/JuliaMath/Xsum.jl) comme référence.\n"
   ]
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   "source": [
    "### Exercice sur la différentiation numérique\n",
    "\n",
    "1. On pose $f(x)=\\exp{x}$, $x_0=1$ et $d(δ)=\\frac{f(x_0+δ)-f(x_0)}{δ}$.\n",
    "   Tracer l'erreur commise entre $d(δ)$ et $f'(x_0)=\\exp{x_0}$ en fonction de $δ ∈ [10^{-17},10^{0}]$ sur un graphe log-log en repérant les droites verticales d'équations $δ=ε_M$ et $δ=\\sqrt{ε_M}$.\n",
    "\n",
    "1. Refaire la question précédente avec une fonction quelconque dont la dérivée exacte sera calculée par différentiation numérique à l'aide de la bibliothèque [`Zygote.jl`](https://github.com/FluxML/Zygote.jl).\n",
    "\n",
    "*Indication :*\n",
    "\n",
    "Les graphiques peuvent être tracés grâce à la bibliothèque [`Plots.jl`](https://github.com/JuliaPlots/jl)\n",
    "\n",
    "- [dépôt GitHub](https://github.com/JuliaPlots/jl)\n",
    "\n",
    "- [documentation](https://docs.juliaorg/stable/)\n",
    "\n",
    "- [tutoriel](https://docs.juliaorg/stable/tutorial/#tutorial)\n",
    "\n",
    "- Il est possible de définir des options de tracé par défaut (qui peuvent être redéfinies ponctuellement au besoin) par\n",
    "\n",
    "   ```julia\n",
    "   Plots.default(fontfamily=\"Computer Modern\",\n",
    "               titlefontsize=20,\n",
    "               xlabelfontsize=20,\n",
    "               ylabelfontsize=20,\n",
    "               legendfontsize=16,\n",
    "               xtickfontsize=16,\n",
    "               ytickfontsize=16,\n",
    "               linewidth=2,\n",
    "               markersize=7,\n",
    "               framestyle=:box,\n",
    "               label=nothing,\n",
    "               grid=true)\n",
    "   ```\n"
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